MATRIK, MACAM-MACAM MATRIK DAN OPERASI MATRIK

 

Pengertian Matriks

    Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

    Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

JENIS MOBIL	HARGA MOBIL (JUTA)	JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
		KOTA P	KOTA Q	KOTA R
A	146	34	56	41
B	275	45	36	37
C	528	51	32	46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :

• Matriks harga mobil adalah 
• Matriks jumlah penjualan adalah 

Lebih sederhana bukan?

Ordo Matriks

    Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

• Banyak baris, m = 3
• Banyak kolom, n = 3
• Ordo matriks,  m x n = 3 x 3

    Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

   Dimana,  adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

    Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

    Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

 atau 

Jenis-jenis Matriks

    Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

    Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

 atau  adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

    Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

 adalah matriks persegi berordo 3, atau

 adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

    Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks  untuk  atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks  untuk  atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

 adalah matriks segitiga atas,

 adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

    Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks  untuk  atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

 atau 

5. Matriks Skalar

    Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

 atau 

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

    Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen  sama dengan elemen .

Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

    Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari  adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

 ditranspose menjadi .

Sifat dari transpose matriks: .

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui A =  , B =  , C =  , Tentukan :

• A + B :
• A + C :

Penyelesaian :

• A + B =  = 
• A + C =  tidak dapat dijumlah karena ordonya tidak sama.

Contoh Soal 2

 Jika A =  dan B =  adalah =….

Penyelesaian :

• B – A =  – 
• B – A =  = 

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan sebuah matriks yaitu :

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A – B ≠ B – A

Contoh Soal 3

 Jika matriks  dan  saling invers, tentukan nilai x !

Penyelesaian :

Diketahui bahwa kedua matriks diatas tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Maka :

Sehingga pada elemen baris ke-1 pada kolom ke-1 memiliki persamaan yaitu :

• 9(x -1) – 7x = 1
• 9x – 9 – 7x = 1
• 2x = 10
• x = 5

Jadi, nilai x adalah = 5

Contoh Soal 4

Contoh Soal 5

Contoh Soal 6

Contoh Soal 7

Contoh Soal 8

Contoh Soal 9

Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

 A. 4/3 
B. 8/3 
C. 10/4 
D. 5/3 
E. 16/7

Pembahasannya:
det A = 4 det B 
4 x (16 x ) – (-16) = 4 (108 – (-152)) 
4 x (4 2x ) + 16 = 4 (260) 
4 3x = 4 (260) – 16 
4 3x = 4 (260) – 4 (4) 
4 3x = 4 (260 – 4) 
4 3x = 4 (256) 
4 3x = 4. 4 4
4 3x = 4 5
3x = 5 
x = 5/3

Jawabannya : D

Contoh Soal 10

OPERASI MATRIKS

 1). Penjumlahan Matriks

    Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama (ordo sama). Aturan penjumlahan matriks yaitu dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

Bentuk umum:

Contoh:

Diketahui matriks A dan matriks B. Tentukan A+B!


Jawaban:

2). Pengurangan Matriks

    Operasi pengurangan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama (ordo sama). Aturan pengurangan matriks yaitu dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

Bentuk umum:

Contoh:

Diketahui matriks A dan matriks B. Tentukan A-B!

Jawaban:

3). Perkalian Matriks dengan Matriks

    Perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks yaitu jika jumlah kolomnya matriks A = jumlah baris matriks A.

    Aturan perkalian matriks yaitu misalkan dimana elemen-elemen dari C (Cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.

• Bentuk umum 1

• Bentuk umum 2

    Diatas terdapat 2 versi bentuk umum, namun jangan bingung itu hanyalah untuk referensi saja. Perlu diingat, inti dari perkalian 2 matriks adalah kita harus mengalikan baris dengan kolom.

Contoh 1.1

Diketahui matriks A dan matriks B. Tentukan AB dan BA!

Jawaban:

Jadi, pada permasalahan diatas dapat disimpulkan bahwa AB  BA.

Contoh 1.2

Buktikan apakah benar sifat asosiatif berlaku pada perkalian matriks yaitu (AB)C=A(BC)!

Jawaban:

Jadi, sifat asosiatif berlaku pada perkalian matriks yaitu (AB)C = A(BC)

4). Perkalian Matriks dengan Skalar

    Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k  dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

Bentuk umum:

Contoh:

Diketahui: k = 3, dan matriks A sebagai berikut tentukan kA!

Jawaban:

5). Trase Matriks

    Misalkan A = [aij] dengan i = 1, 2, 3, ..., n dan j = 1, 2, 3, ..., n. Trase dari matriks A dinyatakan oleh trase (A), dan pada trase mmatriks ini mempunyai syarat yaitu harus matriks bujur sangkar.

Bentuk umum:

Trase A = a + e + i

    Cara mencari trase dalam sebuah matriks sangatlah mudah, yaitu hanya menambahkan semua entri diagonal utama (diagonal utamanya sudah saya warnai biru).

Contoh:

Diketahui matrik A dibawah ini. Hitunglah trase A!


Jawaban:
Trase A = 1 + (-3) + 5 = 3

6). Transpose Matriks

    Transpose matriks A dinotasikan . Transpose matriks A didefinisikan sebagai matriks yang baris-barisnya merupakan kolom dari A.

Contoh:

7). Matriks Invers

    Jika matriks A, dan matriks B adalah matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I (I adalah matriks identitas), maka dikatakan bahwa matriks A dapat dibalik dan matriks B adalah matriks invers dari A (dinotasikan ).

Bentuk umum:

• Invers Matriks 2x2

• Invers Matriks 3x3

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak ….

Diketahui :

Model 1 = kain polos 1m dan kain bergaris 1,5m

Model 2 = kain polos 2m dan kain bergaris 0,5m

Persediaan = kain polos 20 dan kain bergaris 10

Laba = model 1 tidak kurang dari Rp.15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

Ditanya : laba yang diperoleh....

Jawaban :

misalkan    : Model 1 : x

                    Model 2 : y

Selanjutnya buat menjadi tabel agar mempermudah pembacaan.

	Kain polos	Kain bergaris
Model 1 (x)	1x	1,5x
Model 2 (y)	2y	0,5y
Persediaan	20	10

 Buat kain polos menjadi persamaan, yaitu dengan ( model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain polos yaitu

1x + 2y = 20.......(kain polos)

Buat juga untuk kain bergaris menjadi persamaan, yaitu dengan (model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain bergaris yaitu

1,5x + 0,5y = 10.....(kain bergaris)

Untuk langkah selanjutnya, persamaan kain polos dan bergaris substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.

dari hasil eliminasi dan subtitusi tersebut dapat di simpulkan bahwa X = 4 dan Y = 8

maka cara menghitung labanya yaitu = laba = laba model 1 (x) + laba model 2 (y)

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah ditemukan dengan cara substitusi dan elimanasi persamaan kainpolos dan kain bergaris. Selnajutnya tinggal memasukkan nilai x dan y kedalam Laba = 15.000x + 10.000y

jadi, Laba yang dewi dapat adalah Rp.140.000,00

DAERAH BERSIH ATAU DAERAH KOTOR PROGRAM LINEAR

 Soal

Gambar daerah bersih dan daerah kotor dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y > 19, x > 0, y > 0 dan simpulkan himpunan penyelesaiannya.

Pembahasan Contoh Soal

Untuk menggambar daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan yang dimaksud, lakukan langkah-langkah berikut:

Langkah pertama. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. Grafik dari persamaan linear berupa garis lurus. Untuk itu, cari dua titik yang dilewati oleh garis tersebut, kemudian hubungkan kedua titik tersebut menjadi suatu garis lurus. Dua titik ini biasanya dipilih titik pada sumbu-x dan sumbu-y, akan tetapi apabila kurang memungkinkan, pilihlah titik-titik lain.

Titik-titik Koordinat

Sehingga garis 3x + 2y = 12 melalui titik-titik (0, 6) dan (4,0). Dengan cara yang sama, dapat dicari 2 titik yang dilalui persamaan garis lainnya.

Tabel Titik-titik Koordinat

Sehingga, garis-garis dari 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y > 19 dapat digambarkan seperti berikut.

Grafik Persamaan Linear

Langkah kedua. Arsirlah daerah dari masing-masing pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah pertidaksamaan, pilihlah salah satu titik yang terdapat di kanan atau di kiri, atas atau bawah dari garis. Apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang benar, maka daerah titik tersebut merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah penyelesaian tersebut. Sebaliknya, apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah titik tersebut bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah yang berseberangan terhadap titik tersebut. Misalkan kita akan menemukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12. Misalkan kita pilih titik (0,6) yang terletak di atas garis sebagai titik uji. Kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan sebagai berikut.

 

 

Uji Titik

Dengan mensubstitusikan titik (0,6) ke pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah yang memuat titik (0, 6) bukan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah yang berlawanan dengan daerah tersebut, yaitu daerah bawah, yang kita arsir.

Daerah Penyelesaian

Dengan cara yang sama, kita cari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan lainnya. Setelah itu kita gambarkan daerahnya seperti pada gambar berikut.

 

Daerah Penyelesaian 2

Langkah ketiga. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang dimaksud. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan. Atau secara visual, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan daerah yang terkena arsiran dari semua daerah penyelesaian. Sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y > 19, x > 0, y > 0  dapat digambarkan sebagai berikut.

Daerah Penyelesaian SPtLDV

PROGRAM LINEAR

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

Grafik dari persamaan linear dua variabel ax + by = c adalah garis lurus.
Penyelesaian SPLDV ax + by = c
                                 px + qy = r

adalah titik potong antara garis ax + by = c dan garis px + qy = r.

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut:

1.    tentukan titik potong garis dengan sumbu X, syarat y = 0,

2.    tentukan titik potong garis dengan sumbu Y, syarat x = 0,
Langkah (1) dan (2) dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

3.    gambar garis dari setiap persamaan,

4.    tentukan titik potong kedua garis, titik potong tersebut adalah penyelesaian SPLDV.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + 2y = 2

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 2(0) = 2

⇔ x = 2

Titik potong (2, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + 2y = 2

⇔ 2y = 2

⇔ y = 1

Titik potong (0, 1)

■ 2x + 4y = 8

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ 2x + 4(0) = 8

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Titik potong (4, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 2(0) + 4y = 8

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2

Titik potong (0, 2)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong, ditulis {} atau {∅}.

Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu. Penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam grafik daerah penyelesaian. Grafik biasanya dibuat pada diagram cartesius. Untuk membuat grafik materi prasyarat yang harus dikuasai adalah membuat grafik persamaan garis lurus.

Sedikit mengenai membuat grafik persamaan garis lurus, kita dapat membuatnya dengan menentukan minimal dua titik yang dilaluinya. Untuk menentukan dua titik tersebut kita bisa menggunakan titik bantu (dengan menentukan nilai x atau y nya kemudian tentukan nilai y atau x nya) atau dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari garis tersebut.

Untuk membuat grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dengan bentuk umum
ax + by < c
ax + by ≤ c
ax + by > c
ax + by ³ c

kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut

1. Pertama buat grafik dari persamaan ax + by = c
2. Kedua, uji titik (x1, y1) yang merupakan titik di luar garis ax + by = c. Substitusi nilai x dan y dari titik tersebut ke pertidaksamaan. Akan diperoleh ketaksamaan apabila ketaksamaan benar berarti daerah penyelesaian pertidaksamaan yang dicari meliputi titik yang kita uji. Apabila nilai ketaksamaan salah maka daerah penyelesaiannya berada pada daerah yang tidak terdapat titik tersebut

Hal lain, yang perlu diperhatikan dalam membuat grafik penyelesaian pertidaksamaan linear adalah perbedaan pada garis yang dibuat. Jika tanda ketaksamaan merupakan tanda yang mengandung sama dengan ( dan ) maka garisnya dibuat penuh dan apabila tidak ( dan ) maka garisnya dibuat putus-putus. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal membuat grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.

Contoh :

Contoh 1
Buatlah grafik daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ³12

Penyelesaian
x + 2y ³ 12

Pertidaksamaan di atas diubah menjadi persamaan

x + 2y = 12

Kemudian  tentukan titik potong  sumbu x dan sumbu y

Titik potong sumbu x

y = 0 --> x + 2(0) = 12

               x = 12

(12, 0)

Titik potong sumbu y

x = 0 --> 0 + 2y = 12

               2y = 12

                y = 6

(0, 6)

Selanjutnya, gambar grafiknya

Uji daerah penyelesaian, dalam hal ini akan digunakan titik (0, 0) yang tidak dilalui oleh garis x + 2y = 12.

0 + 2(0) ³ 12

0 ³ 12 (salah)

Karena nilai ketaksamaanya salah, maka grafik penyelesaiannya tidak berada daerah yang memuat titik (0, 0) atau daerah penyelesaiannya di atas garis (daerah yang diarsir)