PROGRAM LINEAR

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

Grafik dari persamaan linear dua variabel ax + by = c adalah garis lurus.
Penyelesaian SPLDV ax + by = c
                                 px + qy = r

adalah titik potong antara garis ax + by = c dan garis px + qy = r.

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut:

1.    tentukan titik potong garis dengan sumbu X, syarat y = 0,

2.    tentukan titik potong garis dengan sumbu Y, syarat x = 0,
Langkah (1) dan (2) dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

3.    gambar garis dari setiap persamaan,

4.    tentukan titik potong kedua garis, titik potong tersebut adalah penyelesaian SPLDV.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + 2y = 2

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 2(0) = 2

⇔ x = 2

Titik potong (2, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + 2y = 2

⇔ 2y = 2

⇔ y = 1

Titik potong (0, 1)

■ 2x + 4y = 8

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ 2x + 4(0) = 8

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Titik potong (4, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 2(0) + 4y = 8

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2

Titik potong (0, 2)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong, ditulis {} atau {∅}.

Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu. Penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam grafik daerah penyelesaian. Grafik biasanya dibuat pada diagram cartesius. Untuk membuat grafik materi prasyarat yang harus dikuasai adalah membuat grafik persamaan garis lurus.

Sedikit mengenai membuat grafik persamaan garis lurus, kita dapat membuatnya dengan menentukan minimal dua titik yang dilaluinya. Untuk menentukan dua titik tersebut kita bisa menggunakan titik bantu (dengan menentukan nilai x atau y nya kemudian tentukan nilai y atau x nya) atau dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari garis tersebut.

Untuk membuat grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dengan bentuk umum
ax + by < c
ax + by ≤ c
ax + by > c
ax + by ³ c

kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut

1. Pertama buat grafik dari persamaan ax + by = c
2. Kedua, uji titik (x1, y1) yang merupakan titik di luar garis ax + by = c. Substitusi nilai x dan y dari titik tersebut ke pertidaksamaan. Akan diperoleh ketaksamaan apabila ketaksamaan benar berarti daerah penyelesaian pertidaksamaan yang dicari meliputi titik yang kita uji. Apabila nilai ketaksamaan salah maka daerah penyelesaiannya berada pada daerah yang tidak terdapat titik tersebut

Hal lain, yang perlu diperhatikan dalam membuat grafik penyelesaian pertidaksamaan linear adalah perbedaan pada garis yang dibuat. Jika tanda ketaksamaan merupakan tanda yang mengandung sama dengan ( dan ) maka garisnya dibuat penuh dan apabila tidak ( dan ) maka garisnya dibuat putus-putus. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal membuat grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.

Contoh :

Contoh 1
Buatlah grafik daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ³12

Penyelesaian
x + 2y ³ 12

Pertidaksamaan di atas diubah menjadi persamaan

x + 2y = 12

Kemudian  tentukan titik potong  sumbu x dan sumbu y

Titik potong sumbu x

y = 0 --> x + 2(0) = 12

               x = 12

(12, 0)

Titik potong sumbu y

x = 0 --> 0 + 2y = 12

               2y = 12

                y = 6

(0, 6)

Selanjutnya, gambar grafiknya

Uji daerah penyelesaian, dalam hal ini akan digunakan titik (0, 0) yang tidak dilalui oleh garis x + 2y = 12.

0 + 2(0) ³ 12

0 ³ 12 (salah)

Karena nilai ketaksamaanya salah, maka grafik penyelesaiannya tidak berada daerah yang memuat titik (0, 0) atau daerah penyelesaiannya di atas garis (daerah yang diarsir)