PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

 Persamaan garis singgung kurva masih berkaitan dengan gradien garis singgung. Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Langkah-langkah untuk mencari garis singgung dan garis normal ;

1.) Tentukan titik singgung (X1, Y1)

2.) Cari koefisien arah m = f`(X1)

3.) Cari garis singgung dengan rumus y-y1 = m (x-x1)

4.) Cari garis normal dengan rumus y-y1 = -1/m (x-x1)

Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva 13

Anda dapat mengamati kembali tentang persamaan garis singgung dan persamaan garis normal. Selanjutnya, cobalah pahami contoh persamaan garis singgung dan garis normal berikut ini.

Contoh

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab 

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

  y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x  Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

1. 

   Persamaan Garis

   Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dengan gradien m adalah :$$y-y_1=m(x-x_1)$$
   Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah
   
   y − 4 = 3(x − 1)
   y − 4 = 3x − 3
   y = 3x + 1
   
   

   Gradien Garis

   Gradien  dari persamaan garis :
   

   • y = ax + b          ⇒ m = a
   • ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$
   Contoh :
   
   1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
   2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$ = 3
   
   Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
   
   $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

   
   Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
   $$m=tan\alpha$$
   Gradien Garis A dan B :
   • Sejajar : $m_A=m_B$
   • Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$
   
   

   Persamaan Garis Singgung Kurva

   Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$

   dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

   
   

   Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

   
   

   Contoh 1

   Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$ adalah ...
   
   Jawab :
   Titik singgung : (1, 3)
   
   f(x) = x2 + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
   m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
   ⇒ m = 4
   
   PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
   y − 3 = 4(x − 1)
   y − 3 = 4x − 4
   y = 4x − 1
   
   
   Contoh 2
   
   Persamaan garis singgung kurva $y=2x-3x^2$ di titik dengan absis 2 adalah
   
   
   Jawab :
   Absis (x) = 2
   y = 2x − 3x2
   y = 2(2) − 3(2)2
   y = −8
   Titik singgung :  (2, −8)
   
   
   f(x) = 2x − 3x2  ⇒  f '(x) = 2 − 6x
   m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
   ⇒ m = −10
   
   
   PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah
   y − (−8) = −10(x − 2)
   y + 8 = −10x + 20
   y = −10x + 12
   
   
   
   Contoh 3
   Persamaan garis singgung kurva $y=2\sqrt{x}$ di titik dengan ordinat 2 adalah
   
   
   Jawab :
   Ordinat (y) = 2
   y  = 2√x
   2 = 2√x
   1 = √x
   x = 1
   Titik singgung : (1, 2)
   
   f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
   m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
   ⇒ m = 1
   
   PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
   y − 2 = 1(x − 1)
   y − 2 = x − 1
   y = x + 1
   
   
   Contoh 4
   Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah
   
   
   Jawab :
   Misalkan :
   m1 = gradien garis
   m2 = gradien garis singgung
   
   2x − y + 3 = 0  ⇒  m1 = 2
   
   
   Sejajar : m1 = m2
   ⇒ m2 = 2
   
   
   f(x) = x2 + 5   ⇒  f '(x) = 2x
   m2 = f '(x)
   2 = 2x
   x = 1
   
   y = x2 + 5
   y = (1)2 + 5
   y = 6
   Titik singgung : (1, 6)
   
   
   PGS di titik (1, 6) dengan m2 = 2 adalah
   y − 6 = 2(x − 1)
   y = 2x − 2 + 6
   y = 2x + 4
   
   
   
   Contoh 5
   Persamaan garis singgung kurva $y=3-x^2$ yang tegak lurus terhadap garis $4y=x+1$ adalah
   
   
   Jawab :
   Misalkan :
   m1 = gradien garis
   m2 = gradien garis singgung
   

   
   

   4y = x + 1  ⇒  m1 = $\frac{1}{4}$
   
   
   Tegak lurus : m1 . m2 = −1
   $\frac{1}{4}$ . m2 = −1
   ⇒  m2 = −4
   
   f(x) = 3 − x2  ⇒  f '(x) = −2x
   m2 = f '(x)
   −4 = −2x
   x = 2
   
   y = 3 − x2
   y = 3 − (2)2
   y = −1
   Titik singgung : (2, −1)
   
   
   PGS di titik (2, −1) dengan m2 = −4 adalah 
   y − (−1) = −4(x − 2)
   y + 1 = −4x + 8
   y = −4x + 7
   
   
   
   Contoh 6
   Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{x}-2$ di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !
   
   
   Jawab :
   Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
   
   
   y = √x − 2
   0 = √x − 2
   √x = 2
   x = 4
   Titik singgung : (4, 0)
   
   
   f(x) = √x − 2  ⇒  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
   m = f '(4) = $\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$
   ⇒ m = $\frac{1}{4}$
   
   
   PGS di titik (4, 0) dengan m = $\frac{1}{4}$ adalah  
   y − 0 = $\frac{1}{4}$(x − 4)
   y = $\frac{1}{4}$x − 1
   
   
   
   
   Contoh 7
   Tentukan persamaan garis normal kurva $y=x^2$ yang sejajar dengan garis $x+4y-5=0$ !
   
   
   Jawab :
   Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.
   
   
   Misalkan :
   m1 = gradien garis
   m2 = gradien garis singgung
   mn = gradien garis normal
   
   x + 4y − 5 = 0 ⇒ m1 = $-\frac{1}{4}$
   
   
   Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :
   mn = m
   ⇒ mn = $-\frac{1}{4}$
   
   
   Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :
   m2 .mn = −1
   m2 .$-\frac{1}{4}$ = −1
   m2 = 4
   
   
   f(x) = x2  ⇒  f '(x) = 2x
   m2 = f '(x)
   4 = 2x
   x = 2
   
   
   y = x2
   y = (2)2
   y = 4
   Titik singgung : (2, 4)
   
   
   Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan $m_n=-\frac{1}{4}$, yaitu :
   y − 4 = $-\frac{1}{4}$(x − 2)
   y − 4 = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{1}{2}$
   y = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{9}{2}$ atau
   x + 4y − 18 = 0
   
   
   
   

   Contoh 8

   Garis y = x memotong kurva $y=x^2-4x+4$ di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !
   
   

   Jawab :

   Misalkan :

   y1 = x2 − 4x + 4
   y2 = x
   
   Titik potong P dan Q :

   y1 = y2

   x2 − 4x + 4 = x

   x2 − 5x + 4 = 0

   (x − 1)(x − 4) = 0

   x = 1   x = 4
   
   

   Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

   x = 1 ⇒ y = 1

   x = 4 ⇒ y = 4
   Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

   
   

   f(x) = x2 − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4

   mP = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
   ⇒ mP = −2

   mQ = f '(4) = 2(4) − 4 = 4

   ⇒ mQ = 4
   
   

   PGS di titik P(1,1) dengan mP = −2 adalah 

   y − 1 = −2(x − 1)
   y = −2x + 3

   
   

   PGS di titik Q(4, 4) dengan mQ = 4  adalah

   y − 4 = 4(x − 4)
   y = 4x − 12

   
   
   

   Contoh 9

   Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2-4x+6$ yang melalui titik $(2,1)$ !
   
   

   Jawab :

   Uji titik (2, 1)
   y = x2 − 4x + 6
   1 = (2)2 − 4(2) + 6
   1 ≠ 2
   Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.
   
   Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
   f(x) = x2 − 4x + 6   ⇒  f '(x) = 2x − 4
   m = f '(x)
   ⇒ m = 2x − 4
   
   

   Persamaan garis di titik (2, 1) dengan $m=2x-4$ adalah

   y − 1 = (2x − 4)(x − 2)

   y − 1 = 2x2 − 8x + 8
   y = 2x2 − 8x + 9

   
   

   Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :

   2x2 − 8x + 9 = x2 − 4x + 6

   x2 − 4x + 3 = 0

   (x − 1)(x − 3) = 0

   x = 1   x = 3

   
   

   x = 1 ⇒  y = (1)2 − 4(1) + 6 = 3

   x = 3 ⇒  y = (3)2 − 4(3) + 6 = 3

   Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

   
   

   f '(x) = 2x − 4

   mA = f '(1) = 2(1) − 4 = −2

   ⇒ mA = −2
   mB = f '(3) = 2(3) − 4 = 2

   ⇒ mB = 2
   
   

   PGS di titik A(1, 3) dengan mA = −2  adalah

   y − 3 = −2(x − 1)
   y = −2x + 5

   
   

   PGS di titik B(3, 3) dengan mB = 2 adalah

   y − 3 = 2(x − 3)
   y = 2x − 3

   
   

   Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik $(2,1)$ dan menyinggung kurva $y=x^2-4x+6$ adalah  $y=-2x+5$  dan $y=2x-3$
   
   
   
   Contoh 10
   Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !
   
   
   Jawab :
   m = tan 45° = 1
   ⇒ m = 1
   
   
   f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
   m = f '(x)
   1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
   2√x = 1
   √x = $\frac{1}{2}$
   x = $\frac{1}{4}$
   
   
   y = √x
   y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$
   y = $\frac{1}{2}$
   Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$
   
   
   PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ dengan $m=1$ adalah
   y − $\frac{1}{2}$ = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
   $y=x+\frac{1}{4}$   atau  4x − 4y + 1 = 0
   
   
   
   Contoh 11
   Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$ di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$, tentukan nilai a !
   
   
   Jawab :
   Absis (x) = 4
   y = x2 − 4x − 3 + 2a
   y = (4)2 − 4(4) − 3 + 2a
   y = 2a − 3
   Titik singgung P(4, 2a − 3)
   
   
   Cari gradien garis singgung k :
   f(x) =  x2 − 4x − 3 + 2a 
   f '(x) = 2x − 4
   mk = f '(4) = 2(4) − 4
   ⇒ mk = 4
   
   
   Garis l tegak lurus garis k maka :
   ml . mk = −1
   ml . 4 = −1
   ml = $-\frac{1}{4}$
   
   
   Ingat :
   Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
   $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
   Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :
   ⇔  ml = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$
   ⇔  $-\frac{1}{4}$ = $\frac{5-2a}{4}$
   ⇔  −1 = 5 − 2a
   ⇔  2a = 6
   ⇔  a = 3
   
   
   
   Contoh 12
   Jika garis $x-2y=0$ menyinggung kurva $y=a-\frac{2}{x}$ dikuadran III, tentukan nilai a !
   
   
   Jawab :
   x − 2y = 0 ⇒ m = $\frac{1}{2}$
   
   
   f(x) = a − $\frac{2}{x}$  ⇒  f '(x) = $\frac{2}{x^2}$
   m =  f '(x)
   $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{x^2}$
   x2 = 4
   x = ±2
   Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.
   ⇒  x = −2
   
   
   x − 2y = 0
   −2 − 2y = 0
   −2y = 2
   y = −1
   Titik singgung : (−2, −1)
   
   
   Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :
   y = a − $\frac{2}{x}$
   −1 = a − $\frac{2}{(-2)}$
   −1 = a + 1
   ⇒ a = −2
   
   
   
   Contoh 13
   Garis $y=4x+1$ menyinggung kurva $y=a{x}^2+bx$ di titik dengan absis 2. Tentukan nilai $4a-b$ !
   
   
   Jawab :
   Absis (x) = 2 
   
   
   y = 4x + 1
   y =4(2) + 1
   y = 9
   Titik singgung : (2, 9)
   
   
   Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :
   y = ax2 + bx
   9 = a(2)2 + b(2)
   4a + 2b = 9 ...................................... (1)
   
   
   y = 4x + 1  ⇒  m = 4
   f(x) = ax2 + bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b
   m = f '(2)
   4 = 2a(2) + b
   4a + b = 4  ....................................... (2)
   
   
   Eliminasi (1) dan (2) :
   4a + 2b = 9
   4a + b = 4    _
   4a + b = 5
   
   Dari persamaan (2) :
   4a + b = 4
   
   4a + 5 = 4
   4a = -1
   
   

   Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6 

Daftar pustaka

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id

https://smatika.blogspot.com