NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Secara al-jabar pengertian fungsi naik dan fungsi turun adalah sebagai berikut:

Fungsi y = f(x) dikatakan naik pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂).

Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) > f(x₂).

secara geometris turunan pertama pada suatu titik tertentu dapat ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva pada titik tersebut. Jika garis singgung condong ke kanan maka gradiennya akan bernilai positif atau ƒ′(x₀) > 0 sedangkan jika garis singgung condong ke kiri maka gradiennya akan bernilai negatif atau ƒ′(x₀) < 0  

Perhatikan bahwa jika fungsi naik, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kanan, dan jika fungsi turun, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kiri.

Contoh Soal:

1. Interval x yangmembuat kurva fungsi f(x)=x3−6x2+9x+2 selalu turun adalah 

Diketahui 

f(x)=x3−6x2+9x+2, sehingga turunan pertamanya adalah 

f′(x)=3x2−12x+9.

Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f′(x)<0.

3x2−12x+9<0

Kedua ruas dibagi dengan 3

x2−4x+3<0

(x−3)(x−1)<0

∴1<x<3

Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi 

f(x) selalu turun adalah 1<x<3

2. Grafik fungsi 

p(x)=x(6−x)2tidak pernah turun dalam interval 

Diketahui 

p(x)=x(6−x)2. Turunan pertama p(x)dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).

p(x)=x(6−x)2

=x(36−12x+x2)

=36x−12x2+x3

p′(x)=36−24x+3x2

Grafik fungsi 

p(x)tidak pernah turun jika diberi syarat p′(x)≥0.

36−24x+3x2≥0 Keduaruas dibagi dengan 

3x2−8x+12≥0

(x−2)(x−6)≥0

∴x≤2ataux≥6

Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi p(x) tidak pernah turun adalah x ≤ 2 dan x ≥ 6 

Nilai stasioner 

Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a  dengan f'(a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a.

Terdapat 3 jenis nilai stasioner, yaitu:
1. Nilai Balik Maksimum
2. Nilai Balik Minimum

3. Titik Belok

Berikut kumpulan soal dan pembahasan titik stasioner beserta jenis-jenisnya.

Soal 1
Jika x₁ dan x₂  merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0.

Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1
Pembahasan:
x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
      = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
      = (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
      = (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3
(JAWABAN:  B)

Soal 2
Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
Pembahasan:
y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' =  12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2

Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.
(JAWABAN: A)

Soal 3
y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2  dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan  -77
Pembahasan:
y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4  atau x = -2

Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.
(JAWABAN: D)

Soal 4
Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah .....
A. (-2,3)
B. (-2,7)
C. (-2,5)
D. (2,5)
E. (2,10)
Pembahasan:
y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok <=> y" = 0
6x + 12 = 0
<=> 6x = -12
<=> x = -12/6
<=> x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) + 7
   = -8 + 24 - 18 + 7
   = 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah (-2,5)
(JAWABAN: C)

Soal 5
Sebuah titik materi dengan persamaan s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t (t = waktu, s = kedudukan). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t = .....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t
v(t) = s'(t)
v(t) = -t² + 6t - 5
v(t) maksimum untuk t = -b/2a = -6/-2 = 3.
(JAWABAN: C)

Soal 6
Sebuah pintu berbentuk seperti tergambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama  dengan .....
A. pπ
B. p - π4
C. p4+π
D. p4 + π

E. p4π

 Pembahasan:
Keliling = 2x + 2y + πx = p
<=>  2y = p - 2x - πx
Luas = 2xy + ½ πx²
         = x(p - 2x - πx) + ½ πx²
         = px - 2x² - πx² + ½ πx²
         = px - 2x² - ½ πx²
Syarat Luas maksimum, L' = 0
L' = p - 4x - πx = 0
<=> p - (4 + π)x = 0
<=> x = −p−(4+π)
<=> x = p4+π
(JAWABAN: C)

Soal 7
Selisih dua bilangan adalah 4p. Nilai terkecil dari hasil perkalian kedua bilangan itu adalah .....
A. 6p²
B. 4p²
C. -2p²
D. -4p²
E. -5p²
Pembahasan:
Misalkan bilangan itu adalah x dan y, maka:
y - x = 4p atau y = 4p + x
K = xy = x(4p + x) = 4px + x²
dkdx = 0
4p + 2x = 0
<=> 2x = -4p
<=> x = -2p
Kmin = -2p(4p + (-2p))
          = -2p(2p)
          = -4p²
(JAWABAN: D )

Daftar pustaka

ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-menentukan-titik.html

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/