Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa Yunani kuno yaitu λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
Logika matematika digunakan untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan.
Tahap logika matematika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuartor, serta penarikan kesimpulan.

Pernyataan/kalimat

Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh:

• 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
• 4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran/Negasi (~)

Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

p	~p
B	S
S	B

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

• Konjungsi (∧)

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah makan belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

• Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

• Implikasi (⟹)

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p⇒q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

• Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

p	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah ““.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Konvers

konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalnya      "p => q" , maka konvers nya adalah "q =>p".

Implikasi (konvers, invers kontaposisi)

Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalnya    "p => q" , maka konvers nya adalah "q =>p".

Invers adalah lawan dari inmplikasi. Dalam invers, pernyataan yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misalkan "p =>q" , maka inversnya adalah "~p => ~q".

Kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalnya invers "~p => ~q" , maka kontraposisi nya adalah "~q => ~p".

Pernyataan berkuartor dan ingkaranya

pernyataan kuartor adalah bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua kuartor, yaitu kuartor universal dan kuartor eksitensial.

• Kuartor universal 

digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua

• Kuartor eksitensial

digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, atau terdapat

Pernyataan kuartor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuartor universal adalah kuartor ekstensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.

• p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi 
• ~p : semua siswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : 
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : 
Kesimpulan          : (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

Soal Trigonometri

1. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...

Pembahasan:

jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65

2. Dalam segitiga ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = 60. Panjang sisi A = ...

pembahasan:

a² = b²+c² - 2bc.cos A

    = 8²+5² - 2.8.5.cos 60

      = 64 + 25 – 80 . ½
      = 64 + 25 – 40
      = 89 – 40
      = 49
 a   = √49
      = 7

3.  Dalam segitiga ABC jika AB = 3, AC = 4, dan <BAC = 60 maka tan <ABC = ...

pembahasan:

Perhatikan segitiga berikut:


               = 9 + 16 – 12
               = 13
     BC     = √13
Maka, kita cari nilai cos B:

Aplikasikan pada segitiga siku-siku:

tan <ABC = 2√3/1 = 2√3

4.  Untuk , sin x > ½ bila ...

pembahasan:

sin x > ½ bila berada di kuadran I dan kuadran II, maka:

5.   Jika α dan β sudut lancip, tan α = ¾ dan tan β = 1 maka nilai 5(cos (α + β) + cos (α - β) adalah ...

pembahasan:

tan α = ¾, maka sin α = 3/5 dan cos α = 4/5 (gunakan segitiga siku-siku)
tan β = 1, maka sin β = ½ √2 dan cos β = ½ √2 (gunakan segitiga siku-siku)
cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β
                  = 4/5. ½ √2 – 3/5. ½ √2
                  = 4/10√2 – 3/10√2
                  = 1/10√2
                  = √2/10
cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β
                 = 4/5. ½ √2 + 3/5. ½ √2
                 = 4/10√2 + 3/10√2
                = (7√2)/10
Sehingga nilai dari 5(cos (α + β) + cos (α - β) = 5 .( √2/10 + (7√2)/10 ) = 5((8√2)/10) = (40√2)/10 = 4√2

6. Panjang jari-jari luar segi delapan beraturan adalah 6 cm. keliling segi delapan tersebut adalah...

pembahasan:

7. Nilai cos 105° tan 15° adalah...

pembahasan:

8. Diketahui sin α cos β =1/5 dan sin (α-β)=3/5 untuk 0°≤α≤180° untuk 0°≤β≤90°. Nilai sin(α+β)=...

pembahasan:

9. Grafik di atas adalah grafik fungsi ⋯⋅⋯⋅

pembahasan:

Perhatikan sketsa gambar berikut.

dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x)=asinkxf(x)=asin⁡kx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0)(0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 44 dan −4−4, sehingga
a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4

Pada saat nilai x=180∘x=180∘, fungsi kembali bernilai 00, lalu berulang kembali seperti sebelumnya, sehingga periodenya adalah 180∘180∘, dan akibatnya

k=360∘180∘=2k=360∘180∘=2

Jadi, rumus fungsi f(x)=4sin2xf(x)=4sin⁡2x dengan batas interval 0∘≤x≤270∘

10. Perhatikan gambar dibawah ini ,

Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60∘60∘ dan guru kedua 30∘30∘ maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut...

pembahasan:

*). Ilustrasi gambar

Misalkan panjang CD = BG = xx
*). Menentukan nilai xx
Segitiga ABG :
tan60∘=ABx→AB=xtan60∘→AB=3–√xtan⁡60∘=ABx→AB=xtan⁡60∘→AB=3x
Segitiga ABF , substitusi AB=3–√xAB=3x
tan30∘13–√3–√.3–√x3x2xx=ABBF=3–√xx+10=x+10=x+10=10=5tan⁡30∘=ABBF13=3xx+103.3x=x+103x=x+102x=10x=5
*). Menentukan tinggi tiang bendera (A)
AB=3–√x=3–√.5=53–√AB=3x=3.5=53
Jadi, tinggi tiang bendera adalah 53–√53 m .

11.Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah 30∘,30∘, maka tentukan jarak bola ke dasar gedung...

pembahasan:

*). Ilustrasi gambar gedungnya

*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai xx ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=503–√tan⁡∠BAC=desa=BCBAtan⁡30∘=50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .

12. Daerah hasil fungsi Y =5-2 cos 3x adalah...

pembahasan:

13. pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm jika sudut A adalah 37°, maka tentukanlah luas segitiga tersebut..

pembahasan:

Dik: b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37 derajat

Dit: L = ...?

L = ½ bc sin A

L= ½ (8) (10) sin 37 derajat

L= 40(3/5)

L= 24 cm

14. Dalam segitiga ABC, diketahui panjang a = 5 cm, panjang b = 8 cm. Jika besar sudut C yaitu 60o, maka tentukanlah besar sudut A...

pembahasan:

Dik : a = 5 cm, b = 8 cm, C = 60o.
Dit : A = ... ?

Mencari panjang sisi c :
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = 52 + 82 − 2(5)(8) cos 60o
⇒ c2 = 25 + 64 − 80(0,5)
⇒ c2 = 89 − 40
⇒ c2 = 49
⇒ c = 7 cm

Menentukan besar sudut A :

⇒ cos A =	b2 + c2 − a2
	2bc

⇒ cos A =	82 + 72 − 52
	2(8)(7)

⇒ cos A =	64 + 49 − 25
	112

⇒ cos A =	88
	112

⇒ cos A = 0,785
⇒ A = 38,2o

Jadi, besar sudut A yaitu 38,2o.

15. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm & besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!

pembahasan:

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

16. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

pembahasan:

L = ½ a t

Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2.

17. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut yaitu 53o dan 30o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B yaitu 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut...

pemabahasan:

Dik : A = 53o, C = 30o, b = 6 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	b2 sin A sin C
	2 sin B

⇒ L =	62 sin 53o sin 30o
	2 sin 97o

⇒ L =	36 (0,8) (0,5)
	2 (0,99)

⇒ L =	14,4
	1,98

⇒ L = 7,27 cm2

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.

18. sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A Ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2jam dengan arah 30°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2-5 jam dengan arah 150°. buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu

Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km

Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°

Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]

AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]

AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]

AC² = 28.900 - 12.000

AC = √ 16.900

Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

19. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah ….

pembahasan:

perhatikan ilustrasi berikut.

Jadi, tinggi menara adalah

  

  

  

20. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesiusJika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…

pembahasan:

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3

y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)