materi pelajaran matematika yang disukai: TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

Soal Transformasi, Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dengan Perhitungan Matriks untuk Mencari Bayangannya: Titik, Garis, Bidang Datar, dan Ruangan

contoh soal

1. persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh

transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$ adalah… (UAN ’03)

Pembahasan:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = $\left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)$

Transformasi = $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}$

Kemudian disubstitusikan:

$3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12$

$3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24$

$3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24$

$-x' + 11y' =24$

Hasilnya:

$11y - x =24$

2. Ditentukan matriks transformasi . soal transformasi geometri no 5 Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T₁ dilanjutkan T₂ adalah….

A. (-4,3)

B. (-3,4)

C. (3,4)

D. (4,3)

E. (3,-4)

Jawaban : A

Pembahasan :

soal transformasi geometri dan jawaban no 5

3. Oleh matriks $A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right)$ , titik $P(1, 2)$ dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik $P'(2, 3)$ dan $Q'(2,0)$ . Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan:

Mencari nilai a dari transformasi P:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)$

$a = 0$

Sehingga matriksnya:

$A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)$

Mencari titik Q:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)$

Sehingga:

$Q(1, -1)$

4. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik….

A. A” (8,5)

B. A” (10,1)

C. A” (8,1)

D. A” (4,5)

E. A” (20,2)

Jawaban : B

Pembahasan :

soal transformasi geometri dan jawaban no 7

5. Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan langkah – langkahnya seperti berikut,

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix}$

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan – x’ + 3y’– 11 = 0:

$-x' + 3y' - 11 = 0$

$-\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0$

$-2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0$

$-2x'' + 7y'' - 11 = 0$

$2x'' - 7y'' + 11 = 0$

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

6. Bayangan ∆ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi (0,90°) adalah…

A. A” (-1,-2), B” (1,6) dan C” (-3,-5)

B. A” (-1,-2), B” (1,-6) dan C” (-3,-5)

C. A” (1,-2), B” (-1,6) dan C” (-3,5)

D. A” (-1,-2), B” (-1,-6) dan C” (-3,-5)

E. A” (-1,2), B” (-1,-6) dan C” (-3,-5)

Jawaban : D

Pembahasan :

soal transformasi geometri dan jawaban no 9

7. Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3b - 2 \end{pmatrix}$

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

a = 9
3b – 2 = 10
3b = 12
b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

8. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi soal transformasi geometri no 12 Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah….

A. 56 satuan luas

B. 36 satuan luas

C. 28 satuan luas

D. 24 satuan luas

E. 18 satuan luas

Jawaban : E

Pembahasan :

misalkan T = soal transformasi geometri no 12 maka

Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC |det T| = |ad –bc| = |3-0| = 3

luas ∆ ABC :

buat sketsa gambar :

soal transformasi geometri dan jawaban no 12

Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC

= 3 x 6 = 18 satuan luas

materi pelajaran matematika yang disukai

Sunday, September 27, 2020

TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

No comments:

Post a Comment

Remedial PAT

Report Abuse