PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

4 METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

1. Metode Pembuktian Langsung

     Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi (p  q) atau biimplikasi (p  q) atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah bentuknya menjadi pernyataan implikasi. 

Misal kita punya teorema p  q, dengan p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan bahwa berlaku q.

contoh :

Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x pangkat 2 bilangan ganjil.

Bukti :

Diketahui x ganjil, jadi dapat didefinisikan sebagai x := 2n + 1 untuk suatu n . Selanjutnya, x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2) + 1, dengan mengambil m := 2n2 + 2, m  maka x2 = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.

2. Metode Pembuktian Tak Langsung

    Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p  q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q  ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

contoh:

Buktikan, jika x2 (x pangkat 2) bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.

Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x2 = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah ”Jika x genap maka x2 genap”. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = (2n)2 = 2 (2n2) = 2m yang merupakan bilangan genap.

3. Metode Kontradiksi

    Pembuktian melalui kontradiksi (bahasa Latin: reductio ad absurdum, 'reduksi ke yang absurd', bahasa Inggris: proof by contradiction, 'bukti oleh kontradiksi'), adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

contoh:

Contoh klasik pembuktian melalui kontradiksi pada zaman Yunani Kuno adalah pembuktian bahwa akar kuadrat dari duamerupakan bilangan irasional (tidak bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat). Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan cara mengasumsikan sebaliknya bahwa √2 adalah bilangan rasional, sehingga bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat a/b dalam pecahan yang paling sederhana. Tapi jika a/b = √2, maka a2 = 2b2. Ini berarti a2 adalah bilangan genap. Karenakuadrat dari bilangan ganjil tidak mungkin genap, maka a adalah bilangan genap. Karena a/b adalah pecahan paling sederhana bpastilah ganjil (sebab pecahan genap/genap masih bisa disederhanakan). Namun karena a adalah bilangan genap (anggap 2r artinya a2 (4r2) adalah bilangan kelipatan 4, dan b2 adalah bilangan kelipatan 2 (genap). Hal ini berarti b juga merupakan bilangan genap, dan ini merupakan kontradiksi terhadap kesimpulan sebelumnya bahwa b pastilah ganjil. Karena asumsi awal bahwa √2 adalah rasional mengakibatkan terjadinya kontradiksi, asumsi tersebut pastilah salah, dan ingkarannya (bahwa √2 adalah irasional) merupakan pernyataan yang benar.

4. Metode Induksi Matematika

    Semua inferensi Matematika dimulai secara deduktif mengakibatkan sulitnya melakukan pembuktian secara induktsi. Untuk itu dibuatlah pendekatan langkah-langkah untuk membuktikannya. langkah dimulai dengan menerapkan n bilangan asli pertama kemedian melakukan generalisasi pada n=k dan membuktikan kebenaran n= k+1.

contoh :

langkah (a)

langkah (b)
p(n) benar untuk n = k




langkah (c)
p(n) benar untuk n = k + 1






k suku

(k + 1) suku

 
Cat: berdasarkan langkah (b) diperoleh









Jadi, pernyataan jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2 adalah terbukti benar

Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa Yunani kuno yaitu λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
Logika matematika digunakan untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan.
Tahap logika matematika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuartor, serta penarikan kesimpulan.

Pernyataan/kalimat

Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh:

• 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
• 4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran/Negasi (~)

Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

p	~p
B	S
S	B

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

• Konjungsi (∧)

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah makan belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

• Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

• Implikasi (⟹)

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p⇒q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

• Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

p	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah ““.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Konvers

konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalnya      "p => q" , maka konvers nya adalah "q =>p".

Implikasi (konvers, invers kontaposisi)

Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalnya    "p => q" , maka konvers nya adalah "q =>p".

Invers adalah lawan dari inmplikasi. Dalam invers, pernyataan yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misalkan "p =>q" , maka inversnya adalah "~p => ~q".

Kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalnya invers "~p => ~q" , maka kontraposisi nya adalah "~q => ~p".

Pernyataan berkuartor dan ingkaranya

pernyataan kuartor adalah bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua kuartor, yaitu kuartor universal dan kuartor eksitensial.

• Kuartor universal 

digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua

• Kuartor eksitensial

digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, atau terdapat

Pernyataan kuartor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuartor universal adalah kuartor ekstensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.

• p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi 
• ~p : semua siswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : 
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               : 
Premis 2               : 
Kesimpulan          : (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.