Soal Trigonometri

1. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...

Pembahasan:

jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini:

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65

2. Dalam segitiga ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = 60. Panjang sisi A = ...

pembahasan:

a² = b²+c² - 2bc.cos A

    = 8²+5² - 2.8.5.cos 60

      = 64 + 25 – 80 . ½
      = 64 + 25 – 40
      = 89 – 40
      = 49
 a   = √49
      = 7

3.  Dalam segitiga ABC jika AB = 3, AC = 4, dan <BAC = 60 maka tan <ABC = ...

pembahasan:

Perhatikan segitiga berikut:


               = 9 + 16 – 12
               = 13
     BC     = √13
Maka, kita cari nilai cos B:

Aplikasikan pada segitiga siku-siku:

tan <ABC = 2√3/1 = 2√3

4.  Untuk , sin x > ½ bila ...

pembahasan:

sin x > ½ bila berada di kuadran I dan kuadran II, maka:

5.   Jika α dan β sudut lancip, tan α = ¾ dan tan β = 1 maka nilai 5(cos (α + β) + cos (α - β) adalah ...

pembahasan:

tan α = ¾, maka sin α = 3/5 dan cos α = 4/5 (gunakan segitiga siku-siku)
tan β = 1, maka sin β = ½ √2 dan cos β = ½ √2 (gunakan segitiga siku-siku)
cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β
                  = 4/5. ½ √2 – 3/5. ½ √2
                  = 4/10√2 – 3/10√2
                  = 1/10√2
                  = √2/10
cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β
                 = 4/5. ½ √2 + 3/5. ½ √2
                 = 4/10√2 + 3/10√2
                = (7√2)/10
Sehingga nilai dari 5(cos (α + β) + cos (α - β) = 5 .( √2/10 + (7√2)/10 ) = 5((8√2)/10) = (40√2)/10 = 4√2

6. Panjang jari-jari luar segi delapan beraturan adalah 6 cm. keliling segi delapan tersebut adalah...

pembahasan:

7. Nilai cos 105° tan 15° adalah...

pembahasan:

8. Diketahui sin α cos β =1/5 dan sin (α-β)=3/5 untuk 0°≤α≤180° untuk 0°≤β≤90°. Nilai sin(α+β)=...

pembahasan:

9. Grafik di atas adalah grafik fungsi ⋯⋅⋯⋅

pembahasan:

Perhatikan sketsa gambar berikut.

dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum f(x)=asinkxf(x)=asin⁡kx, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik (0,0)(0,0). Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah 44 dan −4−4, sehingga
a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4a=N. Maksimum−N. Minimum2=4−(−4)2=4

Pada saat nilai x=180∘x=180∘, fungsi kembali bernilai 00, lalu berulang kembali seperti sebelumnya, sehingga periodenya adalah 180∘180∘, dan akibatnya

k=360∘180∘=2k=360∘180∘=2

Jadi, rumus fungsi f(x)=4sin2xf(x)=4sin⁡2x dengan batas interval 0∘≤x≤270∘

10. Perhatikan gambar dibawah ini ,

Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60∘60∘ dan guru kedua 30∘30∘ maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut...

pembahasan:

*). Ilustrasi gambar

Misalkan panjang CD = BG = xx
*). Menentukan nilai xx
Segitiga ABG :
tan60∘=ABx→AB=xtan60∘→AB=3–√xtan⁡60∘=ABx→AB=xtan⁡60∘→AB=3x
Segitiga ABF , substitusi AB=3–√xAB=3x
tan30∘13–√3–√.3–√x3x2xx=ABBF=3–√xx+10=x+10=x+10=10=5tan⁡30∘=ABBF13=3xx+103.3x=x+103x=x+102x=10x=5
*). Menentukan tinggi tiang bendera (A)
AB=3–√x=3–√.5=53–√AB=3x=3.5=53
Jadi, tinggi tiang bendera adalah 53–√53 m .

11.Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah 30∘,30∘, maka tentukan jarak bola ke dasar gedung...

pembahasan:

*). Ilustrasi gambar gedungnya

*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai xx ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=503–√tan⁡∠BAC=desa=BCBAtan⁡30∘=50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .

12. Daerah hasil fungsi Y =5-2 cos 3x adalah...

pembahasan:

13. pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm jika sudut A adalah 37°, maka tentukanlah luas segitiga tersebut..

pembahasan:

Dik: b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37 derajat

Dit: L = ...?

L = ½ bc sin A

L= ½ (8) (10) sin 37 derajat

L= 40(3/5)

L= 24 cm

14. Dalam segitiga ABC, diketahui panjang a = 5 cm, panjang b = 8 cm. Jika besar sudut C yaitu 60o, maka tentukanlah besar sudut A...

pembahasan:

Dik : a = 5 cm, b = 8 cm, C = 60o.
Dit : A = ... ?

Mencari panjang sisi c :
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = 52 + 82 − 2(5)(8) cos 60o
⇒ c2 = 25 + 64 − 80(0,5)
⇒ c2 = 89 − 40
⇒ c2 = 49
⇒ c = 7 cm

Menentukan besar sudut A :

⇒ cos A =	b2 + c2 − a2
	2bc

⇒ cos A =	82 + 72 − 52
	2(8)(7)

⇒ cos A =	64 + 49 − 25
	112

⇒ cos A =	88
	112

⇒ cos A = 0,785
⇒ A = 38,2o

Jadi, besar sudut A yaitu 38,2o.

15. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm & besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!

pembahasan:

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

16. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

pembahasan:

L = ½ a t

Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2.

17. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut yaitu 53o dan 30o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B yaitu 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut...

pemabahasan:

Dik : A = 53o, C = 30o, b = 6 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (53o + 30o)
⇒ B = 180o - 83o
⇒ B = 97o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	b2 sin A sin C
	2 sin B

⇒ L =	62 sin 53o sin 30o
	2 sin 97o

⇒ L =	36 (0,8) (0,5)
	2 (0,99)

⇒ L =	14,4
	1,98

⇒ L = 7,27 cm2

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 7,27 cm2.

18. sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A Ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2jam dengan arah 30°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2-5 jam dengan arah 150°. buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu

Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km

Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°

Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]

AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]

AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]

AC² = 28.900 - 12.000

AC = √ 16.900

Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

19. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah ….

pembahasan:

perhatikan ilustrasi berikut.

Jadi, tinggi menara adalah

  

  

  

20. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesiusJika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…

pembahasan:

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3

y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

Soal dan Pembahasan Trigonometri

1. Ubahlah :

• 60⁰ dan 75⁰ kedalam radian
• 0,5π radian dan 1/6π kedalam derajat

Jawaban:
360⁰ = 2π radian atau 180⁰ = π radian
1 radian = 180/π dan 1⁰ =πradian/180

• 60⁰=60. π/180 radian=1/3π radian=1/3π

     75⁰=75.π/180 radian=5/12π radian=5/12π

• 0,5π radian= 0,5π.180⁰/π=90⁰

     1/6π=1/6π.180⁰/π=30⁰

2. Tentukanlah nilai: 

• sin 60°
• cos 60°
• sin 30°
• cos 30°

Jawaban:

• sin 60° = 1/2√3
• cos 60° = 1/2
• sin 30° = 1/2
• cos 30° = 1/2√3

3. Diketahui segitiga 
$PQR$ memiliki koordinat $P(-3,2),Q(-3,-2)$, dan $R(3,2)$. Nilai $\frac{3\sec R}{\csc Q}=\cdots$

Jawaban:

Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\frac{3\sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa secan merupakan kebalikan dari cosinus (mi/sa), sedangkan cosecan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de).
$\frac{3\sec R}{\csc Q}=\frac{3\times \frac{QR}{PR}}{\frac{QR}{PR}}=3$

4. Segitiga
$KLM$ memiliki koordinat $K(-5,-2),L(3,-2)$, dan $M(-5,4)$. Nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\cdots$

Jawaban :
Tampak bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga siku-siku (di $L$).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
$KL=3-(-5)=8;KM=4-(-2)=6$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}LM& =\sqrt{K{L}^2+K{M}^2}\\ & =\sqrt{8^2+6^2}\\ & =\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\end{array}$
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}\cos L& =\frac{KL}{LM}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\\ \tan M& =\frac{KL}{KM}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\end{array}$
Jadi, nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\frac{4}{5}$ dan $\frac{4}{3}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

5. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawaban :

tan 30⁰ = 

x =   . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

6. Jika 

$\tan \alpha =\frac{1}{a}$ dengan $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$, maka nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }$ sama dengan $\cdots$
Jawaban :
Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{1}{a}$, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de}=1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa}=a$.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{array}{cc}\text{mi}& =\sqrt{(\text{de}{)}^2+(\text{sa}{)}^2}\\ & =\sqrt{1^2+a^2}\end{array}$
Untuk itu, didapat
$\begin{array}{cc}\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }& =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}-\frac{\text{mi}}{\text{de}}\\ & =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}-\frac{\sqrt{1+a^2}}{1}\\ & =\frac{a-(a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}}\\ & =\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

7. Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang $AD=1\text{cm}$, tunjukkan bahwa panjang $DB=\frac{\tan \alpha }{\tan \beta -\tan \alpha }$.

Jawaban :

Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Pada segitiga $ABC$, diperoleh
$\begin{array}{cc}\tan \alpha & =\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AD+BD}=\frac{BC}{1+BD}\\ BC& =\tan \alpha (1+BD)\\ BC& =\tan \alpha +BD\tan \alpha \end{array}$
Pada segitiga $DBC$, diperoleh
$\begin{array}{cc}\tan \beta & =\frac{BC}{BD}\\ \tan \beta & =\frac{\tan \alpha +BD\tan \alpha }{BD}\\ BD\tan \beta & =\tan \alpha +BD\tan \alpha \\ BD(\tan \beta -\tan \alpha )& =\tan \alpha \\ BD& =\frac{\tan \alpha }{\tan \beta -\tan \alpha }\text{cm}\end{array}$

8. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah 
$\cdots \cdot$



Jawaban :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle {<br>}^{}}}$

9. Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots$
Jawaban :
Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \cos \alpha & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{BC}{AC}\\ \sin \beta & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \cos \beta & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \tan \beta & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}\end{array}$

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}\end{array}$

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}\end{array}$

Jadi jawabannya adalah cosβ = BC/AC
=BCAC
10. Perhatikan gambar berikut!














Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots$$\cos \beta ={\displaystyle \frac{BC}{A}}$

Jawaban :

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$