Kemonotonan
Definisi Kemonotonan Misalkan 𝑓 terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan bahwa :
1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2
dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2
dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
3. 𝑓 monoton pada I jika 𝑓 naik atau turun pada I.
Teorema Kemonotonan
Misalkan 𝑓 kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I,
1. Jika 𝑓’(𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 naik pada I.
2. Jika 𝑓’(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 turun pada I.
Contoh 1 Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 – 3𝑥 2 – 12𝑥 + 7
tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun!
Penyelesaian:
Berdasarkan teorema A (teorema kemonotonan), maka perlu dicari 𝑓′(𝑥), yaitu 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 6(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
Untuk menentukan dimana 𝑓′(𝑥) > 0 dan dimana 𝑓′(𝑥) < 0, misalkan 𝑓′(𝑥) = 0,
sehingga 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 0 atau 6(𝑥 + 1)(𝑥– 2) = 0 ,
dengan demikian diperoleh titik pemecah 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2
yang akan membagi garis bilangan real menjadi tiga interval yaitu (−∞, −1), (−1, 2) dan (2, ∞).
Fungsi Naik dan Turun
Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.
Definisi Fungsi Naik dan Turun
Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).
Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).
- Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
- Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
- Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].
Pembuktian
Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.
Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.
Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Kecekungan
Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Definisi Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.
Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).
Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik
akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena
turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.
Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.
Teorema Uji Kecekungan
Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.
- Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
- Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.
Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.
Contoh soal :
1. Dimana saja fungsi f(x) monoton, jika diketahui f(x) = x⁴ - 8x²
Pembahasan :
f(x) = x⁴ - 8x² ⟶ f ' (x) = 4x³ - 16x
f ' (x) = 0
4x³ - 16x = 0
4x (x² - 4) = 0
4x (x - 2) (x + 2) = 0
4x = 0 ⟶ x = 0
x - 2 = 0 ⟶ x = 2
x + 2 = 0 ⟶ x = -2
selanjutnya uji positif/negatif di sembarang interval menggunakan turunan pertama.
Misalnya : ambil x = -1
f ' (x) = 4x³ - 16x ⟶ F '(x) = 4(-1)³ - 16(-1)
= -4 + 16
= 12
Pada saat x = -1 hasilnya positif, artinya interval yang memuat x = -1 adalah interval positif.
Interval lainnya pasti positif dan negatif secara berselang seling. Jadi garis bilangannya berubah menjadi sbb :
Kesimpulannya adalah
f(x) naik pada interval (-2,0) dan (2, ∞)
kemudian f(x) turun pada interval (- ∞, -2 dan (0,2)
Adapun ilustrasi fungsi f(x) = x⁴ - 8x² adalah sbb :
2. Tentukan ekstrim lokal
Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.
Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya
kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.
| Titik | (–1, –2) | (0, 0) | (1, 2) |
| Tanda f ”(x) | f ”( –1) > 0 | f ”(0) = 0 | f ”(1) < 0 |
| Kesimpulan | Minimum lokal | Uji gagal | Maksimum lokal |
Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.
Daftar Pustaka :
https://edumatik.net/kemonotonan-fungsi-dan-contoh-soal/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/4/
https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/
https://lmsspada.kemdikbud.go.id/pluginfile.php/54570/mod_resource/content/1/PENERAPAN%20TURUNAN.pdf
