SOAL CERITA DENGAN PENYELESAIANNYA GUNAKAN INVERS DAN DETERMINAN MATRIKS

 

Soal 1

Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan Susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, Arman membayar Rp 11.500,00 sedangkan Susi membayar Rp 9.000,00. Jika Dodi membeli 6 pensil dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar?

Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan dua cara.

Jika  maka dengan cara pertama, yakni cara invers, diperoleh .

Ingat, determinan dari  adalah ad - bc.

Penyelesaian cara kedua adalah cara determinan, yaitu:

Penyelesaian:

Dimisalkan harga satuan pensil = x dan harga satuan penghapus = y. Disusun ke dalam sistim persamaan linear dua variabel (SPLDV)

5x + 3y = 11.500

4x + 2y = 9.000

Sistim persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni

Cara Pertama (Invers Matriks)

  

  

  

 dan 

Diperoleh harga satuan pensil Rp 2.000 dan harga satuan penghapus Rp 500.

Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500

-------------------------

Cara Kedua (Determinan Matriks)

Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500.

SOAL 2

Zoel dan Ade pergi ke kios pulsa. Zoel membeli 3 buah kartu perdana A dan 2 buah kartu perdana B. Untuk itu Zoel harus membayar Rp. 53.000,-. Ade membeli 2 buah kartu perdana A dan sebuah kartu perdana B, Ade harus membayar Rp. 32.500,-. Tentukan harga sebuah kartu perdana A dan harga sebuah kartu perdana B.

Jawab :

Buatlah tabel untuk masalah tersebut di atas

	Kartu Perdana A	Kartu Perdana B	Harga
Zoel	3	2	Rp 53.000,-
Ade	2	1	Rp 32.500,-

Misalkan, harga sebuah kartu perdana A adalah x rupiah dan harga sebuah kartu perdana B adalah y rupiah.

Sistem persamaan linear dari masalah tersebut adalah 

Sehingga, diperoleh x = 12.000 dan y = 8.500.

Jadi, harga sebuah kartu perdana A adalah Rp. 12.000,- dan harga sebuah kartu perdana B adalah Rp. 8.500,-.

soal 3

Seorang ibu akan membuat  2 jenis kue. Bahan untuk membuat kue sudah disiapkan, yaitu 3 kg tepung dan 2 kg gula. Kue jenis A memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram gula, sedangkan kue jenis B memerlukan 100 gram tepung dan 100 gram gula. Berapa banyak kue jenis A dan kue jenis B yang dapat dibuat dengn bahan yang tersedia ?

Jawab :

Permasalahan tersebut dapat disusun seperti pada tabel berikut.

	Kue A	Kue B	Persediaan
Tepung	150	100	3000
Gula	50	100	2000

Misalkan, kue A = x

                      kue B = y

Persamaan linear yang dapat dibentuk dari model tersebut adalah

                  150x + 100y = 3000

                50x + 100y  = 2000                                                                         ....... (1)

Sederhanakan persamaan (1) menjadi

                 3x + 2y = 60

                 x + 2y = 40                                                                                      ....... (2)

Selanjutnya, sistem persamaan linear ini diselesaikan dengan menggunakan invers matriks sebagai berikut.

            A        X         B

Jadi, kue jenis A yang dapat dibuat adalah 10 buah dan kue jenis B yang dapat dibubat adalah 15 buah.

soal 4

Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah....

Pembahasan :

Misal ->

Umur Pak Andi  = X

Umur Amira       = Y

Umur Bu Andi    = Z

Maka ->

X = Y + 28           ( Pindahkan Variabel ke sisi kiri )                  X - Y = 28

Z = X - 6              ( Pindahkan Variabel ke sisi kiri )                  X - Z = 6

X + Y + Z = 119

Ubah ke bentuk Matriks ->

D ( Determinan ) ->

= ( 0 + 1 + 0 ) – ( 0 - 1 - 1 )

= 1 + 2

= 3

DX ( Determinan X ) ->

= ( 0 + 119 + 0 ) – ( 0 - 28 - 6 )

= 119 + 34

= 153

DY ( Determinan Y ) ->

= ( 6 - 28 + 0 ) – ( 0 - 119 + 28 )

= -22 + 91

= 69

DZ ( Determinan Z ) ->

= ( 0 - 6 + 28 ) – ( 0 + 6 - 119 )

= 22 + 113

= 135

Langkah selanjutnya cari nilai X,Y,danZ

Jadi, jumlah umur Amira dan Bu Andi = Y + Z = 23 + 45 = 68

soal 5

Ani membeli 3 kg jeruk, 1 kg apel dan 1 kg alpukat dengan harga Rp61.000,00. Ida membeli 2 kg jeruk, 2 kg apel dan 1 kg alpukat dengan harga Rp67.000,00. Wati membeli 1 kg jeruk, 3 kg apel dan 2 kg alpukat dengan harga Rp80.000,00. Jika mereka bertiga membeli buah di toko yang sama, berapakah harga 1 kg dari masing-masing dari buah tersebut?

.Jawab

.Misal  :

x = harga 1 kg jeruk

y = harga 1 kg apel

z = harga 1 kg alpukat

.

Bentuk sistem persamaan linear tiga variabelnya

3x + y + z = 61.000

2x + 2y + z = 67.000

x + 3y + 2z = 80.000

.

Bentuk matriksnya

A =  

Kita tentukan matriks minornya

M =  

C =   

Adjoin A =   

Untuk menentukan determinan A, kita gunakan cara kofaktor dengan baris 1

det A = a₁₁.C₁₁ + a₁₂.C₁₂ + a₁₃.C₁₃

det A = 3(1) + 1(-3) + 1(4)

det A = 4

maka

X = A⁻¹ . B

Jadi  

harga 1 kg jeruk = Rp12.000,00

harga 1 kg apel = Rp18.000,00

harga 1 kg alpukat = Rp7.000,00 

SOAL PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN MATRIKS

 

SOAL KESAMAAN MATRIKS

1. Determinan Matriks Ber-ordo 2 x 2 dan 3 x 3
      

      Determinan matriks ber-ordo 2 x 2
            Contoh matriks dengan ordo 2 x 2  adalah seperti ini:

        Matriks A merupakan matriks dengan ordo 2 × 2 memiliki elemen a dan d yang terletak            pada diagonal utama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Nilai determinan     A, disimbolkan dengan [A], merupakan suatu bilangan yang diperoleh dengan cara                mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali                     elemen-elemen diagonal kedua.

        Rumus yang dapat  digunakan adalah:

Det (A) = |A| = ad – bc

        Untuk bisa memahami rumus ini dengan lebih baik, mari kita lihat contoh soal berikut ini.

        Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 2 x 2
            Mari perhatikan soal determinan matriks berordo 2 x 2 berikut ini:

        1. Tentukan determinan dari matriks berikut ini!

                

               Penyelesaian:

               Bila kita perhatikan matriks di atas, kita dapat langsung menghitung nilai determinan                dengan rumus yang telah kita ketahui.

                Det (A) = |A| = ad – bc
                |A| = (5 x 6) – (2 x 4)
                |A| = 30 – 8
                |A| = 22

        2. Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?

                 Penyelesaian:
                    Sama dengan soal yang pertama, kita bisa menggunakan rumus untuk bisa                             menyelesaikannya.

                Det (A) = |A| = ad – bc
                |A| = (7 x 3) – (2 x 8)
                |A| = 21 – 16
                |A| = 5

          B. Determinan Matriks Berordo 3 x 3

           Matriks berordo 3×3 adalah matriks berbentuk persegi dengan banyak kolom dan baris            sama yaitu tiga. Bentuk umum matriks berordo 3×3 sebagai berikut:

        Untuk menghitung determinan matriks berordo 3×3, kamu bisa menggunakan aturan                Sarrus. Gambar di bawah ini akan menunjukkan caranya dengan lebih jelas.

Sumber Gambar: idschool.net

         Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 3×3

           Untuk dapat memahami determinan matriks berordo 3 x 3, ada beberapa soal yang               akan bisa menambah pemahaman kamu mengenai hal ini.

         1. Tentukan determinan dari matriks di bawah ini!

                    Penyelesaian:
                    Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.

                     |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
                     |A| = (1x5x6) + (4x2x1) + (1x2x3) – (1x5x1) – (1x2x3) – (4x2x6)
                     |A| = 30 + 8 + 6 – 5 – 6 – 48
                     |A| = -15 

            2. Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?

               Penyelesaian:
               Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.

                |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
                |A| = (2x5x1) + (4x2x2) + (1x3x3) – (1x5x2) – (2x2x3) – (4x3x1)
                |A| = 10 + 16 + 9 – 10 – 12 – 12
                |A| = 1

    2. Kofaktor Matriks Ber-ordo 2 x 2 dan 3 x 3 

        Contoh:
    

    3. Invers Matriks Ber-ordo 2 x 2 dan 3 x 3 

        A. Invers Matriks Ordo 2x2

 

   Contoh soal invers matriks ordo 2x2

Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

 

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

Gimana, paham ya dengan pembahasan di atas. Lanjut ke invers matriks ordo 3x3 yuk!

B. Invers Matriks Ordo 3x3

Mencari invers matriks berordo 3x3 dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan adjoin dan transformasi baris elementer. Hm, kira-kira seperti apa ya penjelasan lebih detailnya. Mari kita bahas satu persatu, ya.

• Invers matriks ordo 3x3 dengan adjoin

Pada penjelasan sebelumnya tentang determinan matriks, kamu udah tau kan bagaimana cara mencari kofaktor dari suatu matriks. Nah, dari kofaktor-kofaktor tersebut, kita dapat menentukan adjoin matriksnya, lho. Adjoin matriks merupakan transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks tersebut.

 

Sekarang, coba perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal invers matriks ordo 3x3

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

 

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

• Invers matriks ordo 3x3 dengan transformasi baris elementer

Untuk menentukan invers matriks menggunakan transformasi baris elementer, kamu dapat mengikuti langkah-langkah berikut ini.

 

Bingung ya sama langkah-langkah di atas? Yaudah, supaya nggak bingung, di bawah ini ada contoh soal, nih. Gimana kalo kita kerjakan sama-sama. Pulpen dan kertas tadi masih ada, kan?

Contoh soal invers matriks ordo 3x3

Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu: