materi pelajaran matematika yang disukai: April 2021

LUAS DAERAH

Misalkan y = f $x$

berharga positif pada daerah latexa≤x≤b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

x

dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = f $x$

berharga negatif pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f

x

dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan $l a t e x f (x) \geq g (x)$

pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

x

dan y = g

x

adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

y = x2 ……… $1$

y = x + 6 ……… $2$

Dari $1$

dan

2

didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

$l a t e x L = \int (x + 6 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x - \frac{1}{3} x^{3} ∣_{- 2}^{3}$

$l a t e x = (\frac{9}{2} + 18 - 9) - (2 - 12 + \frac{8}{3}) = 21 \frac{1}{2}$

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = f $x$

terdefinisi dan integrabel pada daerah latexa≤x≤b, bila daerah yang dibatasi oleh y = f

x

dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

$l a t e x y = x^{2}$

$l a t e x y = x + 2$

Sehingga :

$l a t e x x^{2} = x + 2$

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Luas Daerah}}\\\hline \textrm{Di Atas Sumbu X}&\textrm{Di Bawah Sumbu X}\\\hline &-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx\\ \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx&atau\\ &\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\: \: dx\\\hline \end{array}$ .

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

maka luas $A_{1}\: \textrm{dan}\: A_{2}$ adalah:

$L_{\displaystyle A_{1}\: \textrm{dan}\: \displaystyle A_{2}}=\displaystyle \int_{b}^{c}f(x)\: dx-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: dx$ .

B. Volume Benda Putar

$\boxed{V=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( f(x) \right )^{2}\: \: dx=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx}$ .

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

CONTOH SOAL

$\begin{array}{lp{16.0cm}}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah luas daerah bidang berikut dan tentukan pula volumenya seandainya bidang yang diarsir tersebut diputar terhadap sumbu X} \end{array}\\$ .

Jawab:
$\begin{array}{lll}\\ \begin{aligned}L_{\textrm{Arsiran}}&=\displaystyle \int_{1}^{3}2x\: dx\\ &=\displaystyle \left [ x^{2} \right ]_{1}^{3}\\ &=\left ( 3 \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}\\ &=9-1\\ &=8\quad \textbf{satuan luas}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\textbf{dan}&\begin{aligned}V_{\textrm{Benda putar}}&=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( y \right )^{2}\: dx=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( 2x \right )^{2}\: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}4x^{2}\: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{4x^{3}}{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 3^{3}}{3} \right )-\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 1^{3}}{3} \right )\\ &=36\pi -\displaystyle \frac{4}{3}\pi \\ &=34\displaystyle \frac{2}{3}\pi \quad \textbf{satuan volum} \end{aligned} \end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Jika}\: f(x)=\left ( x-2 \right )^{2}-4\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)=-f(x),\: \textrm{maka luas daerah yang di batasi kurva \textit{f} dan \textit{g} adalah ....\textbf{(UAN 2003)}} \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\\\ .\quad&a.&10\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &b.&21\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &c.&22\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &d.&42\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &e.&45\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{array}$ .
Jawab:
Perhatikan Ilustrasi berikut

$\begin{aligned}\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( g(x)-f(x) \right )\: \: dx&=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )-\left ( x^{2}-4x \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 8x-2x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \left [4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3} \right ]_{0}^{4}\\ &=\displaystyle \left ( 4.4^{2}-\frac{2}{3}.4^{3} \right )-\left ( 4.0^{2}-\frac{2}{3}.0^{3} \right )\\ &=\displaystyle \left ( 64-\frac{2}{3}.64 \right )-0\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{aligned}$ .

Kita juga dapat menggunakan rumus $\displaystyle L=\frac{\displaystyle D\sqrt{D}}{\displaystyle 6a^{2}}$ .
$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}f(x)&=g(x)\\ f(x)&=-f(x), &\textnormal{ingat g(x)\: =\: -f(x)}\\ 2f(x)&=0, &\textnormal{tidak boleh disederhanakan, }\\ 2\times \left (\left ( x-2 \right )^{2}-4 \right )&=0, &\textnormal{karena akan mempengaruhi hasil akhir}\\ 2\times \left ( x^{2}-4x \right )&=0\\ 2x^{2}-8x&=0,\quad \begin{cases} a=2,\: b=-8 & c=0 \\ D=b^{2}-4ac, & D=\left ( -8 \right )^{2}-4(2)(0)=64 \end{cases}\\ &\\ L_{\: \textbf{daerah}}&=\displaystyle \frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{6\textbf{a}^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\sqrt{64}}{6(2)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\times 8}{6\times 4}\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}\\ &=21\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}\\\hline\end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui parabola}\: \: f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.\\ &\textrm{Titik potong kedua para bola tersebut dapat cari dengan}\\ &\\ &f_{1}(x)=f_{2}(x)\: \: \Leftrightarrow \: \: a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\\ &\: \, \, \qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \: ax^{2}+bx+c=0.\\ &\\ &\textrm{Jika kedua parabola berpotongan di dua titik, tunjukkan bahwa luas daerah antara} \\ &\textrm{kedua parabola tersebut dapat dinyatakan dengan}\: \: \: \displaystyle \textbf{L}=\frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{\textbf{6a}^{\textbf{2}}} \\\end{array}$ .
Bukti:
$ax^{2}+bx+c=0\: \begin{cases} &x_{1}=\displaystyle \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & \\ &x_{2}=\displaystyle \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{cases}\\ \begin{aligned}L&=\displaystyle \int_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\: \left ( ax^{2}+bx+c \right )\: \: dx=\left [ \displaystyle \frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx \right ]_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\\ &=\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &\quad -\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{a}{24a^{3}}\left [ \left ( \sqrt{D}^{3}-3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}-b^{3} \right )+\left ( \sqrt{D}^{3}+3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}+b^{3} \right ) \right ]\\ &\quad +\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right )-\left ( b^{2}+2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right ) \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ \left ( -b+\sqrt{D} \right )-\left ( -b-\sqrt{D} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{1}{24a^{2}}\left [ 2\sqrt{D}^{3}+6\sqrt{D}b^{2} \right ]+\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ -4b\sqrt{D} \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ 2\sqrt{D} \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}^{3}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ D+3b^{2}-6b^{2}+12ac \right ]\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-4ac \right )-3b^{2}+12ac \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ -2b^{2}+8ac \right ]=-\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ b^{2}-4ac \right ]=-\frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ D \right ]\\ &=-\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}},\quad \textbf{luas tidak mungkin negatif}\\ L&=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}\quad \blacksquare \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y^{2}=x\: \: \textrm{dan}\: \: y=x\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini

.
$\begin{array}{|r|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Langkah-langkah}}\\\hline \textrm{Pertama (Mencari Batas)}&\textrm{Kedua (Menentukan Volumenya)}&\textrm{Keterangan}\\\hline \begin{aligned}y&=y\\ x^{2}&=x\\ x^{2}-x&=0\\ x\left ( x-1 \right )&=0\\ x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x&=1\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}V&=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{0}^{1}\left ( x-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{1}\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right ]\\ V&=\displaystyle \frac{1}{6}\pi \end{aligned}&\begin{aligned}&\textnormal{Perhatikan bahwa;}\\ &y^{2}=x\Rightarrow y=\sqrt{x},\: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{1}\\ &\textnormal{Sehingga}\: y_{1}-\textrm{nya adalah}\: \: \sqrt{x}\\ &\textnormal{dan}\: \: y=x\: \: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{2}\\ &\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )=\left ( \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )=x-x^{2}\end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Jadi, volume dari benda putar tersebut dalam satuan volum adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\pi }&\\\hline \end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y=2x\: ,\: y=x,\: x=1,\: \textrm{dan}\: \: x=3\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

$\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=3&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}\left ( f^{2}(x)-g^{2}(x) \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}3x^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ x^{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\displaystyle \pi \left ( 3^{3} \right )-\pi \left ( 1^{3} \right )\\ &=27\pi -1\pi \\ V&=26\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Tentukan volume daerah yang dibatasi oleh lingkaran }\\ &x^{2}+y^{2}=4\: ,\: \textrm{selang}\: -2\leq x\leq 2\: \textrm{dan}\: \: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=-2\: \: \textrm{sampai}\: \: x=2&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{-2}^{2}\left ( 4-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ 4x-\displaystyle \frac{x^{3}}{3} \right ]_{-2}^{2} \\ &=\displaystyle \pi \left ( 8-\displaystyle \frac{8}{3} \right )-\pi \left ( -8+\displaystyle \frac{8}{3} \right )\\ &=\displaystyle \pi \left ( 8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3} \right )\\ V&=\displaystyle \frac{32}{3}\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

https://ilmuhitung.com/aplikasi-integral-menentukan-luas-dan-volume-suatu-daerah/

https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2015/08/30/insyaallah-25/

materi pelajaran matematika yang disukai

Monday, April 19, 2021

Jawaban Soal Limit, Turunan, Integral

Monday, April 5, 2021

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Remedial PAT

Report Abuse