INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 Definisi Integral Tertentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan

d(x) = variabel integral

a = batas bawah pada variabel integral

b = batas atas pada variabel integral

F(a) = nilai integral pada batas bawah

F(b) = nilai integral pada batas atas

Sifat-sifat pada Integral Tentu 

Integral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan integral, Gengs dapat memanfaatkan sifat-sifat integral berikut ini.

Pertama. Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol karena tidak ada daerah antara batas batas tersebut.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kedua. Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjasi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integral yang sama, maka akan diperoleh hasil hasil yang sama namun berbeda tanda.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Ketiga. Jika f(x) adalah fungsi integral dan k merupakan tetapan (konstanta) sembarang.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keempat. Misalkan diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral  tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kelima. Misalkan terdapat dua integral dengan nilai fungsi yang sama dan nilai pada batas atas pada fungsi pertama sama dengan nilai pada batas bawah pada fungsi kedua.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keenam. Apabila fungsi f(x) nya bukan suatu fungsi melainkan konstanta.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

CONTOH SOAL

Soal Nomor 1
Nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{332}{105}$                   D. $\frac{372}{105}$
B. $\frac{342}{105}$                   E. $\frac{392}{105}$
C. $\frac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1$.
$\begin{array}{cc}& (-x^3+2x-1{)}^2\\ & =(-x^3{)}^2+2(-x^3\left)\right(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =\left(\frac{1}{7}\right(1{)}^7-\frac{4}{5}(1{)}^5+\frac{1}{2}(1{)}^2+\frac{4}{3}(1{)}^3-2(1{)}^2+\left(1\right))-\left(\frac{1}{7}\right(-1{)}^7-\frac{4}{5}(-1{)}^5+\frac{1}{2}(-1{)}^2+\frac{4}{3}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =(\frac{1}{7}-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-2+1)-(-\frac{1}{7}+\frac{4}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-2-1)\\ & =\frac{2}{7}-\frac{8}{5}+0+\frac{8}{3}+0+2\\ & =\frac{30}{105}-\frac{168}{105}+\frac{280}{105}+\frac{210}{105}\\ & =\frac{352}{105}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x=\frac{352}{105}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

Soal Nomor 6
Hasil dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{3}$                     C. $\frac{14}{3}$                  E. $\frac{43}{3}$
B. $\frac{11}{3}$                   D. $\frac{17}{3}$

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}& =\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{x}{2\sqrt{x}}\\ & =x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2}\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x& ={\int }_9^{16}(x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2})\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{1+(-1/2)}{x}^{-1/2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+1/2}{x}^{1/2+1}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & =\left(2\right(16{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(16{)}^{3/2}\right)-\left(2\right(9{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(9{)}^{3/2}\right)\\ & =2\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(64\right)-2\left(3\right)-\frac{1}{3}\left(27\right)\\ & =8+\frac{64}{3}-6-9\\ & =-7+\frac{64}{3}=\frac{43}{3}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x=\frac{43}{3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu, dan $f\left(x\right)\ge 0$, untuk semua bilangan real $x$, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
$$\begin{array}{cc}& \text{I.}{\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=\left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)\\ & \text{II.}{\int }_a^b\left(f\right(x)+g(x\left)\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x\\ & \text{III.}{\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$$A. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x\ne \left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
${\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x\ne \sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dapat diintegralkan dalam selang $a\le x\le b$ dan $g\left(a\right)\ne 0$ maka $\cdots \cdot$
(1) ${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(a\right)\text{d}x=g\left(a\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$
(2) ${\int }_a^b\left[f\right(a)+g(x\left)\right]\text{d}x$
(3) $\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}{g\left(a\right)}={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)}{g\left(a\right)}\text{d}x$
(4) ${\int }_a^b\left[f\right(x)-g(x\left)\right]\text{d}x$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(1\right),\left(2\right)$, dan $\left(3\right)$
B. $\left(1\right)$ dan $\left(3\right)$
C. $\left(2\right)$ dan $\left(4\right)$
D. $\left(4\right)$ saja
E. $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, dan $\left(4\right)$

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f\left(a\right)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f\left(x\right)=ax+b$, ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$ dan ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                    E. $-4$
B. $4$                      D. $-3$

Pembahasan

Karena ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =1& & \\ {\int }_0^1(ax+b)\text{d}x& =1& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_0^1& =1& & \\ \frac{1}{2}a(1{)}^2+b(1)-0& =1& & \\ \frac{1}{2}a+b& =1& & (\cdots 1)\end{array}$$Karena ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =5& & \\ {\int }_1^2(ax+b)\text{d}x& =5& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_1^2& =5& & \\ \frac{1}{2}a(2{)}^2+b(2)-\frac{1}{2}a(1{)}^2-b\left(1\right)& =5& & \\ \frac{3}{2}a+b& =5& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a=4$ dan $b=-1$. Jadi, nilai $a+b=4+(-1)=3$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

Daftar Pustaka:

https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/integral-tak-tentu.html

https://www.sheetmath.com/2018/06/integral-tentu-contoh-soal-dan-pembahasan.html

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/