Soal dan Pembahasan Trigonometri

1. Ubahlah :

• 60⁰ dan 75⁰ kedalam radian
• 0,5π radian dan 1/6π kedalam derajat

Jawaban:
360⁰ = 2π radian atau 180⁰ = π radian
1 radian = 180/π dan 1⁰ =πradian/180

• 60⁰=60. π/180 radian=1/3π radian=1/3π

     75⁰=75.π/180 radian=5/12π radian=5/12π

• 0,5π radian= 0,5π.180⁰/π=90⁰

     1/6π=1/6π.180⁰/π=30⁰

2. Tentukanlah nilai: 

• sin 60°
• cos 60°
• sin 30°
• cos 30°

Jawaban:

• sin 60° = 1/2√3
• cos 60° = 1/2
• sin 30° = 1/2
• cos 30° = 1/2√3

3. Diketahui segitiga 
$PQR$ memiliki koordinat $P(-3,2),Q(-3,-2)$, dan $R(3,2)$. Nilai $\frac{3\sec R}{\csc Q}=\cdots$

Jawaban:

Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\frac{3\sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa secan merupakan kebalikan dari cosinus (mi/sa), sedangkan cosecan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de).
$\frac{3\sec R}{\csc Q}=\frac{3\times \frac{QR}{PR}}{\frac{QR}{PR}}=3$

4. Segitiga
$KLM$ memiliki koordinat $K(-5,-2),L(3,-2)$, dan $M(-5,4)$. Nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\cdots$

Jawaban :
Tampak bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga siku-siku (di $L$).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
$KL=3-(-5)=8;KM=4-(-2)=6$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}LM& =\sqrt{K{L}^2+K{M}^2}\\ & =\sqrt{8^2+6^2}\\ & =\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\end{array}$
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}\cos L& =\frac{KL}{LM}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\\ \tan M& =\frac{KL}{KM}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\end{array}$
Jadi, nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\frac{4}{5}$ dan $\frac{4}{3}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

5. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawaban :

tan 30⁰ = 

x =   . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

6. Jika 

$\tan \alpha =\frac{1}{a}$ dengan $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$, maka nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }$ sama dengan $\cdots$
Jawaban :
Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{1}{a}$, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de}=1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa}=a$.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{array}{cc}\text{mi}& =\sqrt{(\text{de}{)}^2+(\text{sa}{)}^2}\\ & =\sqrt{1^2+a^2}\end{array}$
Untuk itu, didapat
$\begin{array}{cc}\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }& =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}-\frac{\text{mi}}{\text{de}}\\ & =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}-\frac{\sqrt{1+a^2}}{1}\\ & =\frac{a-(a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}}\\ & =\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\cos \alpha -\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

7. Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang $AD=1\text{cm}$, tunjukkan bahwa panjang $DB=\frac{\tan \alpha }{\tan \beta -\tan \alpha }$.

Jawaban :

Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Pada segitiga $ABC$, diperoleh
$\begin{array}{cc}\tan \alpha & =\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AD+BD}=\frac{BC}{1+BD}\\ BC& =\tan \alpha (1+BD)\\ BC& =\tan \alpha +BD\tan \alpha \end{array}$
Pada segitiga $DBC$, diperoleh
$\begin{array}{cc}\tan \beta & =\frac{BC}{BD}\\ \tan \beta & =\frac{\tan \alpha +BD\tan \alpha }{BD}\\ BD\tan \beta & =\tan \alpha +BD\tan \alpha \\ BD(\tan \beta -\tan \alpha )& =\tan \alpha \\ BD& =\frac{\tan \alpha }{\tan \beta -\tan \alpha }\text{cm}\end{array}$

8. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah 
$\cdots \cdot$



Jawaban :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle {<br>}^{}}}$

9. Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots$
Jawaban :
Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \cos \alpha & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{BC}{AC}\\ \sin \beta & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \cos \beta & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \tan \beta & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}\end{array}$

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}\end{array}$

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}\end{array}$

Jadi jawabannya adalah cosβ = BC/AC
=BCAC
10. Perhatikan gambar berikut!














Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots$$\cos \beta ={\displaystyle \frac{BC}{A}}$

Jawaban :

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$